Moment › Przykłady › belka

Belka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy T, M

Belka dwuprzęsłowa z przegubem $C$ we wsporniku: podpory $A$ (nieprzesuwna), $B$ i $D$ (przesuwne), obciążenie równomierne $q = 4$ kN/m na przęśle $A B$ i siła $P = 12$ kN w przęśle zawieszonym $C D$ . Rozwiązanie zgodnie ze schematem pracy — od belki dołączonej najpóźniej.

Dane

$A$ — podpora przegubowo-nieprzesuwna ( $x = 0$ ); $B$ — przesuwna ( $x = 6$ m); $C$ — przegub ( $x = 8$ m); $D$ — przesuwna ( $x = 10$ m)
$q = 4$ kN/m na odcinku $⟨ 0; 6 ⟩$ m
$P = 12$ kN pionowo w dół w $x = 9$ m

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność

Reakcje: $H_{A}$ , $V_{A}$ , $V_{B}$ , $V_{D}$ , więc $r = 4$ ; przegub daje jeden warunek $c = 1$ ( $M_{C} = 0$ ):

n = r - 3 - c = 4 - 3 - 1 = 0

Tarcza $A BC$ jest połączona z ostoją trzema więziami (dwie w $A$ , jedna w $B$ ), które nie przecinają się w jednym punkcie. Tarcza $C D$ jest dołączona do niej przegubem $C$ i więzią $D$ , która nie przechodzi przez przegub. Układ jest geometrycznie niezmienny.

2. Schemat pracy

Belka $C D$ jest zawieszona na wsporniku $BC$ belki podstawowej $A BC$ . Najpierw rozwiązujemy belkę zawieszoną, a jej oddziaływanie w przegubie przykładamy do belki podstawowej z przeciwnym zwrotem.

Belka zawieszona $C D$

\sum M_{C} = 0 : V_{D} \cdot 2 - 12 \cdot 1 = 0 \Rightarrow V_{D} = 6 kN, \sum Y = 0 : V_{C} = 12 - 6 = 6 kN

Na belkę $A BC$ przegub przekazuje siłę $V_{C} = 6$ kN skierowaną w dół, w $x = 8$ m.

Belka podstawowa $A BC$

\sum M_{A} = 0 : V_{B} \cdot 6 - 24 \cdot 3 - 6 \cdot 8 = 0 \Rightarrow V_{B} = \frac{72 + 48}{6} = 20 kN

\sum Y = 0 : V_{A} = 24 + 6 - 20 = 10 kN, \sum X = 0 : H_{A} = 0

Metoda bezpośrednia daje to samo: warunek w przegubie dla części prawej, $\sum M_{C}^{prawa} = V_{D} \cdot 2 - 12 \cdot 1 = 0$ , plus trzy równania równowagi całości.

Sprawdzenie całości

\sum Y = 10 + 20 + 6 - 24 - 12 = 0, \sum M_{B} = - 10 \cdot 6 + 24 \cdot 3 - 12 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 0

Schemat obliczeniowy z rzeczywistymi zwrotami reakcji

3. Siły wewnętrzne

Przedziały: $⟨ 0; 6)$ , $(6; 8 ⟩$ , $⟨ 8; 9)$ , $(9; 10 ⟩$ . Spody dolne.

Przedział I, $0 \leq x < 6$ m

T (x) = 10 - 4 x, M (x) = 10 x - 2 x^{2}

$T (x) = 0$ dla $x = 2, 5$ m: $M_{m a x} = 25 - 12, 5 = 12, 5$ kNm. Nad podporą $B$ : $M (6) = 60 - 72 = - 12$ kNm, $T (6^{-}) = - 14$ kN.

Przedział II, $6 < x \leq 8$ m (wspornik)

T (x) = 10 - 24 + 20 = 6 kN, M (x) = 10 x - 24 (x - 3) + 20 (x - 6) = 6 x - 48

$M (6) = - 12$ kNm, $M (8) = 0$ — w przegubie moment się zeruje.

Przedziały III i IV, $8 \leq x \leq 10$ m (belka zawieszona)

T (x) = 6, M (x) = 6 x - 48 (8 \leq x < 9), T (x) = - 6, M (x) = 60 - 6 x (9 < x \leq 10)

Pod siłą $P$ : $M (9) = 6$ kNm, skok $T$ z $+ 6$ na $- 6$ kN. Na podporze $D$ : $M = 0$ , $T = - 6$ kN $= - V_{D}$ .

4. Wnioski

Moment przęsłowy $M_{m a x} = 12, 5$ kNm ( $x = 2, 5$ m), moment podporowy $M_{B} = - 12$ kNm. W przegubie $C$ wykres $M$ przechodzi przez zero, ale siła poprzeczna jest tam ciągła ( $T = 6$ kN) — przegub przenosi siłę poprzeczną.

Wykresy

Wykresy sił wewnętrznych T [kN] i M [kNm] (N = 0 na całej długości)

Zmień dane i policz podobne zadanie. To zadanie jest gotowe w kalkulatorze — z reakcjami, wykresami i sprawozdaniem w LaTeX. Możesz też rozwiązać je samodzielnie: wpiszesz swoje wyniki, a kalkulator wskaże błędy.

Otwórz w kalkulatorze Rozwiąż sam i sprawdź

Inne przykłady

Reakcje i wykresy T, M belki swobodnie podpartejBelka swobodnie podparta: siła skupiona i obciążenie równomierne Belka wspornikowa: reakcje w utwierdzeniu i wykresy T, MWspornik utwierdzony: obciążenie równomierne i siła na końcu Belka z obciążeniem trójkątnym: przepisy funkcyjne i M maxObciążenie trójkątne: miejsce i wartość momentu maksymalnego Rama trójprzegubowa: reakcje i wykresy M, T, NRama trójprzegubowa: reakcje, rozpór i wykresy M, T, N Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po krokuKratownica: metoda równoważenia węzłów i pręty zerowe