Moment › Przykłady › belka

Belka wspornikowa: reakcje w utwierdzeniu i wykresy T, M

Wspornik o długości $L = 3$ m, utwierdzony w punkcie $A$ , obciążony równomiernie $q = 4$ kN/m i siłą $P = 10$ kN na wolnym końcu $B$ . Pokazujemy reakcje w utwierdzeniu i najszybszą drogę do wykresów: liczenie sił wewnętrznych od wolnego końca, bez reakcji.

Dane

$L = 3$ m; $A$ — utwierdzenie ( $x = 0$ ), $B$ — wolny koniec ( $x = 3$ m)
obciążenie równomierne $q = 4$ kN/m na całej długości
siła skupiona $P = 10$ kN pionowo w dół w punkcie $B$

1. Statyczna wyznaczalność

Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody: $H_{A}$ , $V_{A}$ , $M_{A}$ . $n = r - 3 = 3 - 3 = 0$ — wspornik jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.

2. Reakcje w utwierdzeniu

Wypadkowa: $Q = q L = 4 \cdot 3 = 12$ kN w $x = 1, 5$ m. Moment $M_{A}$ zakładamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

\sum X = 0 : H_{A} = 0

\sum Y = 0 : V_{A} - 12 - 10 = 0 \Rightarrow V_{A} = 22 kN

\sum M_{A} = 0 : M_{A} - 12 \cdot 1, 5 - 10 \cdot 3 = 0 \Rightarrow M_{A} = 48 kNm

Sprawdzenie względem wolnego końca $B$ :

\sum M_{B} = M_{A} - V_{A} \cdot 3 + Q \cdot 1, 5 = 48 - 66 + 18 = 0

Schemat obliczeniowy z rzeczywistymi zwrotami reakcji

3. Siły wewnętrzne liczone od wolnego końca

Dla wspornika wygodnie jest wprowadzić zmienną $s$ — odległość od wolnego końca, $0 \leq s \leq 3$ m — i rozpatrywać część po prawej stronie przekroju. Reakcje nie są wtedy potrzebne, a ich wartości wychodzą jako kontrola w utwierdzeniu.

T (s) = P + q s = 10 + 4 s, M (s) = - P s - \frac{q s ^{2}}{2} = - 10 s - 2 s^{2}

W utwierdzeniu ( $s = 3$ m): $T = 22$ kN $= V_{A}$ oraz $M = - 30 - 18 = - 48$ kNm $= - M_{A}$ — wynik zgodny z reakcjami. W zmiennej $x = 3 - s$ liczonej od utwierdzenia:

T (x) = 22 - 4 x, M (x) = - 48 + 22 x - 2 x^{2}

4. Wnioski

Moment jest ujemny na całej długości, czyli rozciągane są włókna górne — wykres $M$ leży nad osią belki (po stronie włókien rozciąganych). Największy moment co do wartości występuje w utwierdzeniu: $∣ M ∣_{m a x} = 48$ kNm. Na wolnym końcu $M = 0$ , a $T$ równa się sile $P$ .

Wykresy

Wykresy sił wewnętrznych T [kN] i M [kNm] (N = 0 na całej długości)

Zmień dane i policz podobne zadanie. To zadanie jest gotowe w kalkulatorze — z reakcjami, wykresami i sprawozdaniem w LaTeX. Możesz też rozwiązać je samodzielnie: wpiszesz swoje wyniki, a kalkulator wskaże błędy.

Otwórz w kalkulatorze Rozwiąż sam i sprawdź

Inne przykłady

Reakcje i wykresy T, M belki swobodnie podpartejBelka swobodnie podparta: siła skupiona i obciążenie równomierne Belka z obciążeniem trójkątnym: przepisy funkcyjne i M maxObciążenie trójkątne: miejsce i wartość momentu maksymalnego Belka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy T, MBelka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy Rama trójprzegubowa: reakcje i wykresy M, T, NRama trójprzegubowa: reakcje, rozpór i wykresy M, T, N Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po krokuKratownica: metoda równoważenia węzłów i pręty zerowe