Moment › Przykłady › kratownica

Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po kroku

Kratownica płaska z pięciu prętów: pas dolny 1–2–3, krzyżulce 1–4 i 4–3 nachylone pod kątem $45^{\circ }$ oraz słupek 2–4. W węźle 4 działa siła pionowa 30 kN (w dół) i pozioma 10 kN (w prawo). Siły w prętach wyznaczamy metodą równoważenia węzłów.

Dane

• węzły: $1(0;0)$, $2(3;0)$, $3(6;0)$, $4(3;3)$ [m]
• pręty: 1–2, 2–3, 1–4, 4–3, 2–4
• podpory: węzeł 1 — przegubowo-nieprzesuwna, węzeł 3 — przesuwna (reakcja pionowa)
• obciążenie w węźle 4: $P_y=30$ kN w dół, $P_x=10$ kN w prawo

1. Statyczna wyznaczalność

Liczba prętów $p=5$, reakcji $r=3$, węzłów $w=4$:

Kratownica jest zbudowana z trójkątów i podparta trzema więziami, które nie przecinają się w jednym punkcie — jest statycznie wyznaczalna i geometrycznie niezmienna.

2. Reakcje

3. Pręt zerowy

Węzeł 2 jest nieobciążony i schodzą się w nim trzy pręty, z których dwa (1–2 i 2–3) są współliniowe. Trzeci pręt jest więc zerowy:

Z równowagi węzła 2 w kierunku poziomym wynika też $N_{23}=N_{12}$.

4. Równoważenie węzłów

Siły w prętach zakładamy jako rozciągające (zwrot od węzła). Wynik ujemny oznacza ściskanie. Dla krzyżulców $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Węzeł 1 (dwie niewiadome)

Węzeł 2

Węzeł 3

Węzeł 4 (kontrola)

5. Zestawienie

Pas dolny jest rozciągany, krzyżulce ściskane. Bardziej obciążony jest krzyżulec przy podporze 3, bo siła pozioma w węźle 4 zwiększa reakcję $V_3$.

Inne przykłady