Moment › Przykłady › belka

Belka z obciążeniem trójkątnym: przepisy funkcyjne i M max

Belka swobodnie podparta o rozpiętości $L = 6$ m z obciążeniem trójkątnym rosnącym od zera przy podporze $A$ do $q = 12$ kN/m przy podporze $B$ . Ten schemat często pojawia się na kolokwiach, bo wymaga przepisu funkcyjnego obciążenia i rozwiązania równania $T (x) = 0$ .

Dane

$L = 6$ m; $A$ — podpora przegubowo-nieprzesuwna ( $x = 0$ ), $B$ — przegubowo-przesuwna ( $x = 6$ m)
obciążenie trójkątne: $q (0) = 0$ , $q (6) = 12$ kN/m

1. Wypadkowa obciążenia

Wypadkowa obciążenia trójkątnego to pole trójkąta, przyłożone w jego środku ciężkości — w $\frac{2}{3}$ podstawy od wierzchołka (czyli $\frac{1}{3}$ od większej rzędnej):

Q = \frac{q L}{2} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36 kN, x_{Q} = \frac{2}{3} L = 4 m

2. Reakcje podporowe

\sum X = 0 : H_{A} = 0, \sum M_{A} = 0 : V_{B} \cdot 6 - 36 \cdot 4 = 0 \Rightarrow V_{B} = 24 kN

\sum M_{B} = 0 : - V_{A} \cdot 6 + 36 \cdot 2 = 0 \Rightarrow V_{A} = 12 kN

Sprawdzenie: \sum Y = 12 + 24 - 36 = 0

Schemat obliczeniowy z rzeczywistymi zwrotami reakcji

3. Przepisy funkcyjne

Rzędna obciążenia w przekroju $x$ wynika z podobieństwa trójkątów: $q (x) : x = q : L$ , więc $q (x) = \frac{12}{6} x = 2 x$ kN/m. Część obciążenia na lewo od przekroju to trójkąt o polu $\frac{1}{2} q (x) x = x^{2}$ , którego wypadkowa ma ramię $\frac{x}{3}$ względem przekroju:

T (x) = V_{A} - \frac{q ( x ) x}{2} = 12 - x^{2}, M (x) = V_{A} x - \frac{q ( x ) x}{2} \cdot \frac{x}{3} = 12 x - \frac{x ^{3}}{3}

Kontrola: $T (6) = 12 - 36 = - 24$ kN $= - V_{B}$ , $M (6) = 72 - 72 = 0$ . Przy obciążeniu liniowym $T$ jest parabolą 2. stopnia, a $M$ parabolą 3. stopnia.

4. Moment maksymalny

Ekstremum momentu jest tam, gdzie $T (x) = 0$ :

12 - x_{0}^{2} = 0 \Rightarrow x_{0} = 12 = 23 \approx 3, 464 m (= \frac{L}{3})

M_{m a x} = 12 \cdot 23 - \frac{( 2 3 ) ^{3}}{3} = 243 - 83 = 163 \approx 27, 71 kNm

Ten sam wynik daje wzór ogólny dla obciążenia trójkątnego na belce swobodnie podpartej:

M_{m a x} = \frac{q L ^{2}}{9 3} = \frac{12 \cdot 36}{9 3} \approx 27, 71 kNm

Wykresy

Wykresy sił wewnętrznych T [kN] i M [kNm] (N = 0 na całej długości)

Zmień dane i policz podobne zadanie. To zadanie jest gotowe w kalkulatorze — z reakcjami, wykresami i sprawozdaniem w LaTeX. Możesz też rozwiązać je samodzielnie: wpiszesz swoje wyniki, a kalkulator wskaże błędy.

Otwórz w kalkulatorze Rozwiąż sam i sprawdź

Inne przykłady

Reakcje i wykresy T, M belki swobodnie podpartejBelka swobodnie podparta: siła skupiona i obciążenie równomierne Belka wspornikowa: reakcje w utwierdzeniu i wykresy T, MWspornik utwierdzony: obciążenie równomierne i siła na końcu Belka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy T, MBelka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy Rama trójprzegubowa: reakcje i wykresy M, T, NRama trójprzegubowa: reakcje, rozpór i wykresy M, T, N Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po krokuKratownica: metoda równoważenia węzłów i pręty zerowe