Moment › Przykłady › rama

Rama trójprzegubowa: reakcje i wykresy M, T, N

Rama portalowa o wysokości 4 m i rozpiętości 6 m, z przegubem $C$ w środku rygla i podporami przegubowymi $A$ i $E$ . Obciążenie: siła pozioma 15 kN w lewym narożu i $q = 10$ kN/m na całym ryglu. Numeracja węzłów jak na schemacie: $A = 1$ , naroża 2 i 4, przegub $C = 3$ , $E = 5$ .

Dane

węzły: $1 (0; 0)$ , $2 (0; 4)$ , $3 (3; 4)$ , $4 (6; 4)$ , $5 (6; 0)$ [m]; pręty 1–2, 2–3, 3–4, 4–5
podpory przegubowo-nieprzesuwne w węzłach 1 ( $A$ ) i 5 ( $E$ ), przegub w węźle 3 ( $C$ )
siła pozioma $F = 15$ kN w węźle 2, w prawo; $q = 10$ kN/m pionowo na ryglu 2–4

1. Geometryczna niezmienność i statyczna wyznaczalność

Dwie tarcze: I (pręty 1–2, 2–3) i II (3–4, 4–5). Każda jest połączona z ostoją przegubem ( $A$ , $E$ ), a ze sobą przegubem $C$ . Trzy przeguby $A$ , $C$ , $E$ nie leżą na jednej prostej, więc układ jest geometrycznie niezmienny (twierdzenie o trzech tarczach). Reakcje: $H_{A}, V_{A}, H_{E}, V_{E}$ , warunek w przegubie: $M_{C} = 0$ :

n = r - 3 - c = 4 - 3 - 1 = 0

2. Reakcje

Wypadkowe obciążenia rygla: $Q_{1} = Q_{2} = 10 \cdot 3 = 30$ kN w $x = 1, 5$ m i $x = 4, 5$ m. Momenty dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

\sum M_{A} = 0 : V_{E} \cdot 6 - 30 \cdot 1, 5 - 30 \cdot 4, 5 - 15 \cdot 4 = 0 \Rightarrow V_{E} = \frac{45 + 135 + 60}{6} = 40 kN

\sum Y = 0 : V_{A} = 60 - 40 = 20 kN

\sum M_{C}^{lewa} = 0 : - V_{A} \cdot 3 + H_{A} \cdot 4 + 30 \cdot 1, 5 = 0 \Rightarrow H_{A} = \frac{60 - 45}{4} = 3, 75 kN (\to)

\sum X = 0 : H_{A} + 15 + H_{E} = 0 \Rightarrow H_{E} = - 18, 75 kN (zwrot w lewo)

Sprawdzenie warunkiem w przegubie dla części prawej:

\sum M_{C}^{prawa} = V_{E} \cdot 3 - 18, 75 \cdot 4 - 30 \cdot 1, 5 = 120 - 75 - 45 = 0

Schemat ramy z obciążeniem i reakcjami

3. Siły wewnętrzne

Spody po wewnętrznej stronie ramy. Zmienna $x$ biegnie od początku pręta (od pierwszego węzła w nazwie). $M > 0$ rozciąga spody, $N > 0$ oznacza rozciąganie.

Pręt 1–2 (lewy słup, $0 \leq x \leq 4$ m)

N = - V_{A} = - 20 kN, T = - H_{A} = - 3, 75 kN, M (x) = - H_{A} x = - 3, 75 x

W narożu 2: $M = - 15$ kNm — rozciągane włókna zewnętrzne.

Pręt 2–3 (rygiel do przegubu, $0 \leq x \leq 3$ m)

N = - (H_{A} + 15) = - 18, 75 kN, T (x) = V_{A} - q x = 20 - 10 x, M (x) = - 15 + 20 x - 5 x^{2}

$T = 0$ dla $x = 2$ m: $M_{m a x} = - 15 + 40 - 20 = 5$ kNm. W przegubie $M (3) = - 15 + 60 - 45 = 0$ .

Pręt 3–4 (rygiel od przegubu, $0 \leq x \leq 3$ m)

N = - 18, 75 kN, T (x) = - 10 - 10 x, M (x) = - 10 x - 5 x^{2}

W narożu 4: $M (3) = - 30 - 45 = - 75$ kNm, $T = - 40$ kN.

Pręt 4–5 (prawy słup, $0 \leq x \leq 4$ m, w dół)

N = - V_{E} = - 40 kN, T = 18, 75 kN, M (x) = - 75 + 18, 75 x

Przy podporze $E$ : $M (4) = 0$ .

4. Kontrola

Równowaga naroży: w węźle 2 moment w słupie i ryglu wynosi $- 15$ kNm, w węźle 4 — $- 75$ kNm (naroża sztywne bez momentu skupionego). W przegubie $C$ i na podporach przegubowych $M = 0$ . Największy moment co do wartości, $75$ kNm, występuje w narożu przy podporze $E$ : przejmuje on rozpór $H_{E}$ na ramieniu 4 m.

Wykresy M, T, N

Wykres momentów zginających M [kNm], po stronie włókien rozciąganych

Wykres sił poprzecznych T [kN]

Wykres sił normalnych N [kN]

Zmień dane i policz podobne zadanie. To zadanie jest gotowe w kalkulatorze (ramy i kratownice w planie Pro) — z reakcjami, wykresami i sprawozdaniem w LaTeX. Możesz też rozwiązać je samodzielnie: wpiszesz swoje wyniki, a kalkulator wskaże błędy.

Otwórz w kalkulatorze Rozwiąż sam i sprawdź

Inne przykłady

Reakcje i wykresy T, M belki swobodnie podpartejBelka swobodnie podparta: siła skupiona i obciążenie równomierne Belka wspornikowa: reakcje w utwierdzeniu i wykresy T, MWspornik utwierdzony: obciążenie równomierne i siła na końcu Belka z obciążeniem trójkątnym: przepisy funkcyjne i M maxObciążenie trójkątne: miejsce i wartość momentu maksymalnego Belka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy T, MBelka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po krokuKratownica: metoda równoważenia węzłów i pręty zerowe