Moment › Przykłady › belka

Reakcje i wykresy T, M belki swobodnie podpartej

Belka o rozpiętości $L = 6$ m, podparta przegubowo w punktach $A$ i $B$ , obciążona siłą skupioną $P = 18$ kN oraz obciążeniem równomiernym $q = 4$ kN/m na całej długości. Wyznaczamy reakcje podporowe, siły wewnętrzne w przedziałach charakterystycznych i maksymalny moment zginający.

Dane

$L = 6$ m; $A$ — podpora przegubowo-nieprzesuwna ( $x = 0$ ), $B$ — przegubowo-przesuwna ( $x = 6$ m)
siła skupiona $P = 18$ kN pionowo w dół w $x = 2$ m
obciążenie równomierne $q = 4$ kN/m na odcinku $⟨ 0; 6 ⟩$ m

1. Statyczna wyznaczalność

Niewiadome reakcje: $H_{A}$ , $V_{A}$ , $V_{B}$ , więc $r = 3$ i $n = r - 3 = 0$ . Tarcza (belka) jest połączona z ostoją trzema więziami, które nie przecinają się w jednym punkcie — układ jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.

2. Reakcje podporowe

Wypadkowa obciążenia równomiernego: $Q = q L = 4 \cdot 6 = 24$ kN, przyłożona w środku belki, $x = 3$ m. Momenty dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

\sum X = 0 : H_{A} = 0

\sum M_{A} = 0 : V_{B} \cdot 6 - 18 \cdot 2 - 24 \cdot 3 = 0 \Rightarrow V_{B} = \frac{36 + 72}{6} = 18 kN

\sum M_{B} = 0 : - V_{A} \cdot 6 + 18 \cdot 4 + 24 \cdot 3 = 0 \Rightarrow V_{A} = \frac{72 + 72}{6} = 24 kN

Sprawdzenie (równanie niewykorzystane do wyznaczenia reakcji):

\sum Y = V_{A} + V_{B} - P - Q = 24 + 18 - 18 - 24 = 0

Schemat obliczeniowy z rzeczywistymi zwrotami reakcji

3. Siły wewnętrzne

Przedziały charakterystyczne: $⟨ 0; 2)$ i $(2; 6 ⟩$ — granicą jest siła skupiona. Spody (włókna uprzywilejowane) dolne: $M > 0$ rozciąga włókna dolne, $T > 0$ obraca element zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Przedział I, $0 \leq x < 2$ m

T (x) = V_{A} - q x = 24 - 4 x, M (x) = V_{A} x - \frac{q x ^{2}}{2} = 24 x - 2 x^{2}

$T (0) = 24$ kN, $T (2^{-}) = 16$ kN; $M (0) = 0$ , $M (2) = 48 - 8 = 40$ kNm.

Przedział II, $2 < x \leq 6$ m

T (x) = V_{A} - P - q x = 6 - 4 x, M (x) = V_{A} x - P (x - 2) - \frac{q x ^{2}}{2} = - 2 x^{2} + 6 x + 36

$T (2^{+}) = - 2$ kN, $T (6) = - 18$ kN $= - V_{B}$ ; $M (2) = 40$ kNm, $M (6) = 0$ .

4. Maksymalny moment

Siła poprzeczna zmienia znak skokowo pod siłą $P$ : z $+ 16$ kN na $- 2$ kN (skok o $P = 18$ kN). Ekstremum momentu jest więc w $x = 2$ m:

M_{m a x} = M (2) = 40 kNm

W przedziale II równanie $T (x) = 0$ daje $x = 1, 5$ m, czyli punkt poza przedziałem — tam ekstremum nie ma. Kontrola cech wykresów: przy stałym $q$ wykres $T$ jest liniowy, a $M$ to parabola wypukła w stronę obciążenia, z załomem pod siłą skupioną; na podporach przegubowych $M = 0$ .

Wykresy

Wykresy sił wewnętrznych T [kN] i M [kNm] (N = 0 na całej długości)

Zmień dane i policz podobne zadanie. To zadanie jest gotowe w kalkulatorze — z reakcjami, wykresami i sprawozdaniem w LaTeX. Możesz też rozwiązać je samodzielnie: wpiszesz swoje wyniki, a kalkulator wskaże błędy.

Otwórz w kalkulatorze Rozwiąż sam i sprawdź

Inne przykłady

Belka wspornikowa: reakcje w utwierdzeniu i wykresy T, MWspornik utwierdzony: obciążenie równomierne i siła na końcu Belka z obciążeniem trójkątnym: przepisy funkcyjne i M maxObciążenie trójkątne: miejsce i wartość momentu maksymalnego Belka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy T, MBelka Gerbera: schemat pracy, reakcje i wykresy Rama trójprzegubowa: reakcje i wykresy M, T, NRama trójprzegubowa: reakcje, rozpór i wykresy M, T, N Kratownica: metoda równoważenia węzłów krok po krokuKratownica: metoda równoważenia węzłów i pręty zerowe